Упр.338 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) $$F(x)=\sin x-x\cos x,\quad f(x)=x\sin x.$$
Найдём производную:
$$ F'(x)=(\sin x-x\cos x)’=\cos x-(x\cos x)’=\cos x-(\cos x-x\sin x)=x\sin x. $$
Значит, $$F'(x)=f(x)$$, то есть $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.
Общий вид первообразных:
$$\sin x-x\cos x+C.$$
б) $$F(x)=\sqrt{x^2+1},\quad f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$
Найдём производную:
$$ F'(x)=\left(\sqrt{x^2+1}\right)’=\left((x^2+1)^{\frac12}\right)’=\frac12(x^2+1)^{-\frac12}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. $$
Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$.
Общий вид первообразных:
$$\sqrt{x^2+1}+C.$$
в) $$F(x)=\cos x+x\sin x,\quad f(x)=x\cos x.$$
Найдём производную:
$$ F'(x)=(\cos x+x\sin x)’=-\sin x+(\,x\sin x\,)’=-\sin x+(\sin x+x\cos x)=x\cos x. $$
Значит, $$F'(x)=f(x)$$.
Общий вид первообразных:
$$\cos x+x\sin x+C.$$
г) $$F(x)=x-\frac1x,\quad f(x)=\frac{1+x^2}{x^2}.$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$ F'(x)=\left(x-\frac1x\right)’=1-\left(x^{-1}\right)’=1-(-x^{-2})=1+\frac1{x^2}=\frac{1+x^2}{x^2}. $$
Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$.
Общий вид первообразных:
$$x-\frac1x+C.$$
Ответ
а) $$\sin x-x\cos x+C$$;
б) $$\sqrt{x^2+1}+C$$;
в) $$\cos x+x\sin x+C$$;
г) $$x-\frac1x+C.$$
