Упр.33 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) arcsin(x)+arccos(x)=?/2 для любого x?[-1; 1];
б) arctg(x)+arcctg(x)=?/2;
в) cos(arctg(x))=1/v(1+x^2);
г) tg(arcccos(x))=v(1-x^2)/x для любого x?[-1; 1] и x?0.

а) Пусть $$\alpha=\arcsin x.$$ Тогда $$\sin \alpha=x,$$ где $$-\frac{\pi}{2}\le \alpha\le \frac{\pi}{2}.$$

Рассмотрим угол $$\frac{\pi}{2}-\alpha.$$ Он принадлежит промежутку $$[0,\pi],$$ и

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha=x.$$

Значит,

$$\frac{\pi}{2}-\alpha=\arccos x,$$

откуда

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.$$

б) Пусть $$\alpha=\operatorname{arcctg} x.$$ Тогда $$\ctg \alpha=x,$$ где $$0<\alpha<\pi.$$

Угол $$\frac{\pi}{2}-\alpha$$ лежит в промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ и

$$\tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\ctg\alpha=x.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{2}-\alpha=\arctg x,$$

то есть

$$\arctg x+\operatorname{arcctg} x=\frac{\pi}{2}.$$

в) Пусть $$\alpha=\arctg x.$$ Тогда $$\tg\alpha=x.$$ Используем формулу

$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}.$$

Подставляя $$\tg\alpha=x,$$ получаем

$$\cos(\arctg x)=\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

г) Пусть $$\alpha=\arccos x.$$ Тогда $$\cos\alpha=x,$$ где $$0\le \alpha\le \pi.$$

Так как $$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha,$$ то

$$\sin\alpha=\sqrt{1-x^2}.$$

Тогда

$$\tg(\arccos x)=\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},$$

при $$x\ne 0.$$

Ответ

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2},\qquad \arctg x+\operatorname{arcctg} x=\frac{\pi}{2},$$

$$\cos(\arctg x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad \tg(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.$$