Упр.33 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 33. Докажите, что числа (v2+1)/(v2-1), 1/(2-v2) и 1/2 образуют геометрическую прогрессию.

Обозначим данные числа:

$$b_1=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1},\qquad b_2=\frac1{2-\sqrt2},\qquad b_3=\frac12.$$

Упростим первое и второе числа:

$$ b_1=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}\cdot\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1} =\frac{(\sqrt2+1)^2}{2-1}=3+2\sqrt2, $$

$$ b_2=\frac1{2-\sqrt2}\cdot\frac{2+\sqrt2}{2+\sqrt2} =\frac{2+\sqrt2}{4-2} =\frac{2+\sqrt2}{2}. $$

Третье число уже равно $$b_3=\frac12.$$

Проверим свойство геометрической прогрессии:

$$ b_2^2=\left(\frac{2+\sqrt2}{2}\right)^2 =\frac{4+4\sqrt2+2}{4} =\frac{3+2\sqrt2}{2}, $$

$$ b_1b_3=(3+2\sqrt2)\cdot\frac12=\frac{3+2\sqrt2}{2}. $$

Следовательно, $$b_2^2=b_1b_3,$$ значит, числа $$\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1},\ \frac1{2-\sqrt2},\ \frac12$$ образуют геометрическую прогрессию.

Ответ

Да, данные числа образуют геометрическую прогрессию.