Упр.323 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна $$c,$$ а один из катетов — $$x.$$ Тогда второй катет равен

$$\sqrt{c^2-x^2}, \qquad x\in(0;c).$$

Площадь треугольника как функция от $$x$$:

$$S(x)=\frac12 x\sqrt{c^2-x^2}.$$

Найдём производную:

$$ S'(x)=\frac12\sqrt{c^2-x^2}-\frac{x^2}{2\sqrt{c^2-x^2}} =\frac{c^2-2x^2}{2\sqrt{c^2-x^2}}. $$

Критические точки находим из уравнения

$$c^2-2x^2=0,$$

откуда

$$x=\frac{c}{\sqrt2}.$$

Это точка максимума, так как при $$x=\frac{c}{\sqrt2}$$ площадь принимает наибольшее значение:

$$ S_{\max}=\frac12\cdot \frac{c}{\sqrt2}\cdot \sqrt{c^2-\left(\frac{c}{\sqrt2}\right)^2} =\frac12\cdot \frac{c}{\sqrt2}\cdot \frac{c}{\sqrt2} =\frac{c^2}{4}. $$

При этом второй катет тоже равен

$$\sqrt{c^2-\left(\frac{c}{\sqrt2}\right)^2}=\frac{c}{\sqrt2}.$$

Значит, оба катета равны, то есть треугольник равнобедренный.