Упр.310 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) $$f(x)=2\sin x+\cos 2x,\quad x\in[0;2\pi].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\cos x-2\sin 2x.$$

   Приравняем её к нулю:

   $$ 2\cos x-2\sin 2x=0 $$
   $$ 2\cos x-4\sin x\cos x=0 $$
   $$ 2\cos x(1-2\sin x)=0. $$

   Отсюда:

   $$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12. $$

   На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем точки:

   $$x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}.$$

   Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

   $$ f(0)=1,\quad f\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac32,\quad f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\quad f\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac32,\quad f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-3,\quad f(2\pi)=1. $$

   Следовательно,

   $$ \max_{[0;2\pi]} f(x)=\frac32,\qquad \min_{[0;2\pi]} f(x)=-3. $$

2. б) $$f(x)=1{,}5x^2+\frac{81}{x},\quad x\in[1;4].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3x-\frac{81}{x^2}.$$

   Приравняем её к нулю:

   $$ 3x-\frac{81}{x^2}=0 $$
   $$ 3x^3-81=0 $$
   $$ x^3=27,\quad x=3. $$

   Вычислим значения функции в точке $$x=3$$ и на концах отрезка:

   $$ f(1)=1{,}5+81=82{,}5, $$
   $$ f(3)=1{,}5\cdot 9+\frac{81}{3}=13{,}5+27=40{,}5, $$
   $$ f(4)=1{,}5\cdot 16+\frac{81}{4}=24+20{,}25=44{,}25. $$

   Значит,

   $$ \max_{[1;4]} f(x)=82{,}5,\qquad \min_{[1;4]} f(x)=40{,}5. $$

3. в) $$f(x)=2\sin x+\sin 2x,\quad x\in\left[0;\frac{3\pi}{2}\right].$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=2\cos x+2\cos 2x. $$

   Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

   $$ f'(x)=2\cos x+2(2\cos^2 x-1)=4\cos^2 x+2\cos x-2. $$

   Приравняем к нулю:

   $$ 4\cos^2 x+2\cos x-2=0 $$
   $$ 2\cos^2 x+\cos x-1=0 $$
   $$ (2\cos x-1)(\cos x+1)=0. $$

   Отсюда:

   $$ \cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-1. $$

   На отрезке $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем точки:

   $$x=\frac{\pi}{3},\ \pi.$$

   Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:

   $$ f(0)=0,\quad f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\sin\frac{2\pi}{3} =\sqrt3+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}, $$
   $$ f(\pi)=0,\quad f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{2}+\sin 3\pi=-2. $$

   Следовательно,

   $$ \max_{[0;\frac{3\pi}{2}]} f(x)=\frac{3\sqrt3}{2},\qquad \min_{[0;\frac{3\pi}{2}]} f(x)=-2. $$

4. г) $$f(x)=x+\frac{1}{x+2},\quad x\in[-5;-2{,}5].$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=1-\frac{1}{(x+2)^2} =\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}. $$

   Приравняем её к нулю:

   $$ \frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}=0 $$
   $$ x=-1,\quad x=-3. $$

   На отрезке $$[-5;-2{,}5]$$ лежит только точка $$x=-3$$.

   Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   $$ f(-5)=-5+\frac{1}{-3}=-5-\frac13=-\frac{16}{3}, $$
   $$ f(-3)=-3+\frac{1}{-1}=-4, $$
   $$ f(-2{,}5)=-2{,}5+\frac{1}{-0{,}5}=-2{,}5-2=-4{,}5. $$

   Значит,

   $$ \max_{[-5;-2{,}5]} f(x)=-4,\qquad \min_{[-5;-2{,}5]} f(x)=-\frac{16}{3}. $$

Ответ

а) $$\max=\frac32,\ \min=-3$$;
б) $$\max=82{,}5,\ \min=40{,}5$$;
в) $$\max=\frac{3\sqrt3}{2},\ \min=-2$$;
г) $$\max=-4,\ \min=-\frac{16}{3}$$.