Упр.31 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 31. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 26, а произведение второго и четвертого ее членов равно 160. Найдите сумму шести первых членов прогрессии.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность. Тогда

$$a_5=a_1+4d,\qquad a_2=a_1+d,\qquad a_4=a_1+3d.$$

По условию:

$$a_1+a_5=26,$$

$$a_2a_4=160.$$

Из первого уравнения получаем:

$$a_1+(a_1+4d)=26,$$

$$2a_1+4d=26,$$

$$a_1=13-2d.$$

Подставим во второе уравнение:

$$ (a_1+d)(a_1+3d)=160,$$

$$ (13-d)(13+d)=160,$$

$$169-d^2=160,$$

$$d^2=9,$$

$$d=3 \text{ или } d=-3.$$

1) Если $$d=3$$, то

$$a_1=13-2\cdot 3=7.$$

Сумма первых шести членов:

$$S_6=\frac{6}{2}\bigl(2a_1+5d\bigr)=3(2\cdot 7+5\cdot 3)=3(14+15)=87.$$

2) Если $$d=-3$$, то

$$a_1=13-2\cdot(-3)=19.$$

Тогда

$$S_6=\frac{6}{2}\bigl(2a_1+5d\bigr)=3(2\cdot 19+5\cdot(-3))=3(38-15)=69.$$

Ответ

$$69$$ или $$87$$.