Упр.305 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) $$f(x)=x^4-8x^2-9$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2.$$
На отрезке $$[-1;1]$$ лежит точка $$x=0$$. Считаем значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$$f(-1)=(-1)^4-8\cdot(-1)^2-9=-16,$$
$$f(0)=0^4-8\cdot0^2-9=-9,$$
$$f(1)=1^4-8\cdot1^2-9=-16.$$
Следовательно,
$$\max_{[-1;1]} f(x)=-9,\qquad \min_{[-1;1]} f(x)=-16.$$
На отрезке $$[0;3]$$ лежат точки $$x=0$$ и $$x=2$$. Тогда:
$$f(0)=-9,\qquad f(2)=2^4-8\cdot2^2-9=-25,\qquad f(3)=3^4-8\cdot3^2-9=0.$$
Значит,
$$\max_{[0;3]} f(x)=0,\qquad \min_{[0;3]} f(x)=-25.$$
б) $$f(x)=\dfrac{x^2+4}{x}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{x^2-4}{x^2}.$$
Критические точки: $$x=-2,\;2.$$
На отрезке $$[-4;-1]$$ лежит точка $$x=-2$$. Считаем значения:
$$f(-4)=\frac{16+4}{-4}=-5,$$
$$f(-2)=\frac{4+4}{-2}=-4,$$
$$f(-1)=\frac{1+4}{-1}=-5.$$
Следовательно,
$$\max_{[-4;-1]} f(x)=-4,\qquad \min_{[-4;-1]} f(x)=-5.$$
На отрезке $$[1;3]$$ лежит точка $$x=2$$. Тогда:
$$f(1)=\frac{1+4}{1}=5,$$
$$f(2)=\frac{4+4}{2}=4,$$
$$f(3)=\frac{9+4}{3}=\frac{13}{3}.$$
Значит,
$$\max_{[1;3]} f(x)=5,\qquad \min_{[1;3]} f(x)=4.$$
в) $$f(x)=3x^5-5x^3$$
Найдём производную:
$$f'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$
На отрезке $$[0;2]$$ лежат точки $$x=0$$ и $$x=1$$. Считаем значения:
$$f(0)=0,$$
$$f(1)=3-5=-2,$$
$$f(2)=3\cdot2^5-5\cdot2^3=96-40=56.$$
Следовательно,
$$\max_{[0;2]} f(x)=56,\qquad \min_{[0;2]} f(x)=-2.$$
На отрезке $$[2;3]$$ критических точек нет. Тогда:
$$f(2)=56,\qquad f(3)=3\cdot3^5-5\cdot3^3=729-135=594.$$
Значит,
$$\max_{[2;3]} f(x)=594,\qquad \min_{[2;3]} f(x)=56.$$
г) $$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$$
Область определения: $$x\ne -1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}.$$
Производная нигде не равна нулю, поэтому критических точек нет.
На отрезке $$[-3;-2]$$:
$$f(-3)=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2},\qquad f(-2)=\frac{-2}{-1}=2.$$
Следовательно,
$$\max_{[-3;-2]} f(x)=2,\qquad \min_{[-3;-2]} f(x)=\frac{3}{2}.$$
На отрезке $$[1;5]$$:
$$f(1)=\frac{1}{2},\qquad f(5)=\frac{5}{6}.$$
Значит,
$$\max_{[1;5]} f(x)=\frac{5}{6},\qquad \min_{[1;5]} f(x)=\frac{1}{2}.$$
Ответ
а) на $$[-1;1]$$: $$\max=-9,\ \min=-16$$; на $$[0;3]$$: $$\max=0,\ \min=-25$$.
б) на $$[-4;-1]$$: $$\max=-4,\ \min=-5$$; на $$[1;3]$$: $$\max=5,\ \min=4$$.
в) на $$[0;2]$$: $$\max=56,\ \min=-2$$; на $$[2;3]$$: $$\max=594,\ \min=56$$.
г) на $$[-3;-2]$$: $$\max=2,\ \min=\frac{3}{2}$$; на $$[1;5]$$: $$\max=\frac{5}{6},\ \min=\frac{1}{2}$$.
