Упр.303 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) $$f(x)=\tg x-x,\quad I=\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-1=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\tg^2 x.$$

   На промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем $$\tg x>0,$$ значит $$f'(x)>0.$$ Следовательно, функция возрастает. Кроме того,

   $$f(0)=\tg 0-0=0,$$

   поэтому на данном промежутке $$f(x)>0.$$

2. б) $$f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{x},\quad I=[1;\infty).$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}.$$

   При $$x\ge 1$$ обе слагаемые положительны, значит $$f'(x)>0.$$ Следовательно, функция возрастает на $$[1;\infty).$$

   Так как $$f(1)=1-1=0,$$ то при $$x>1$$ получаем $$f(x)>0.$$

3. в) $$f(x)=x-\sin x,\quad I=(0;\infty).$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=1-\cos x.$$

   Так как $$\cos x\le 1,$$ то $$f'(x)\ge 0.$$ Значит, функция не убывает на $$\left(0;\infty\right).$$

   При этом $$f(0)=0-\sin 0=0,$$ а для $$x>0$$ имеем $$x-\sin x>0.$$

4. г) $$f(x)=x+\frac{\pi}{2}-\cos x,\quad I=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=1+\sin x.$$

   На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ выполняется $$-1<\sin x\le 1,$$ значит

   $$f'(x)=1+\sin x>0.$$

   Следовательно, функция возрастает на данном промежутке. Кроме того,

   $$f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,$$

   поэтому на $$I$$ функция принимает положительные значения.

Ответ

Во всех пунктах функция принимает положительные значения на указанном промежутке.