Упр.302 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) $$f(x)=\sin^2 x+\sin x$$

   Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$

   Найдём нули функции:

   $$\sin^2 x+\sin x=0$$

   $$\sin x(\sin x+1)=0.$$

   Отсюда

   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb{Z},$$

   $$\sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\sin x\cos x+\cos x=\cos x(2\sin x+1).$$

   Критические точки:

   $$\cos x(2\sin x+1)=0.$$

   Отсюда

   $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   $$2\sin x+1=0 \Rightarrow \sin x=-\frac12 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \text{ или } x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

   Исследование знака производной на одном периоде даёт:

   • максимум при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ $$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2;$$
   • максимум при $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$ $$f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0;$$
   • минимум при $$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,$$ $$f\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac14;$$
   • минимум при $$x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n,$$ $$f\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\frac14.$$

   По этим точкам строится график функции.

2. б) $$f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$$

   Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$ Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x).$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}.$$

   Знак производной определяется числителем:

   $$1-x^2>0 \text{ при } |x|<1,\qquad 1-x^2<0 \text{ при } |x|>1.$$

   Значит, функция убывает на $$(-\infty,-1)$$ и $$ (1,\infty),$$ возрастает на $$(-1,1).$$

   Экстремумы:

   $$f(-1)=-1,\qquad f(1)=1.$$

   График проходит через начало координат и имеет вертикальные касательные в точках экстремума.

3. в) $$f(x)=\cos^2 x-\cos x$$

   Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$ Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$

   Найдём нули функции:

   $$\cos^2 x-\cos x=0$$

   $$\cos x(\cos x-1)=0.$$

   Отсюда

   $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   $$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-2\sin x\cos x+\sin x=\sin x(1-2\cos x).$$

   Критические точки:

   $$\sin x(1-2\cos x)=0.$$

   Отсюда

   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$

   $$1-2\cos x=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

   По знакам производной получаем:

   • минимум при $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$ $$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac14;$$
   • максимум при $$x=\pi+2\pi n,$$ $$f(\pi)=2;$$
   • минимум при $$x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,$$ $$f\!\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\frac14.$$

   По этим точкам строится график функции.

4. г) $$f(x)=\frac{x}{x-1}$$

   Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=-\frac{1}{(x-1)^2}.$$

   Так как $$f'(x)<0$$ при всех $$x\ne 1,$$ функция убывает на промежутках $$(-\infty,1)$$ и $$ (1,\infty).$$

   Асимптоты:

   $$x=1 \text{ — вертикальная асимптота}, \qquad y=1 \text{ — горизонтальная асимптота}.$$

   График — гипербола с центром симметрии в точке $$\left(1,1\right).$$

Ответ

а) $$D(f)=\mathbb{R}$$; нули: $$x=\pi n,\; x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; максимумы: $$f\!\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)=2,\; f\!\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right)=0$$; минимумы: $$f\!\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right)=f\!\left(\frac{11\pi}{6}+2\pi n\right)=-\frac14.$$

б) $$D(f)=\mathbb{R}$$; функция возрастает на $$(-1,1),$$ убывает на $$(-\infty,-1)$$ и $$ (1,\infty);$$ $$f(-1)=-1,\; f(1)=1.$$

в) $$D(f)=\mathbb{R}$$; нули: $$x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$; минимум: $$f\!\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)=f\!\left(\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right)=-\frac14;$$ максимум: $$f(\pi+2\pi n)=2.$$

г) $$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}$$; функция убывает на $$(-\infty,1)$$ и $$ (1,\infty);$$ асимптоты: $$x=1,$$ $$y=1.$$