Упр.301 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$f(x)=x^2\sqrt{1+x}$$

   Область определения: $$1+x\ge 0,\quad x\ge -1.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=2x\sqrt{1+x}+x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} =\frac{4x(1+x)+x^2}{2\sqrt{1+x}} =\frac{5x^2+4x}{2\sqrt{1+x}} =\frac{x(5x+4)}{2\sqrt{1+x}}. $$

   Критические точки:

   $$ x(5x+4)=0 \quad \Rightarrow \quad x=0,\; x=-\frac45. $$

   Так как знаменатель положителен при $$x>-1,$$ знак производной определяется числителем. Получаем:

   $$[-1;-\tfrac45] \text{ и } [0;+\infty)$$ — промежутки возрастания,
   $$[-\tfrac45;0]$$ — промежуток убывания.

   Значения в точках экстремума:

   $$ f\!\left(-\frac45\right)=\left(-\frac45\right)^2\sqrt{1-\frac45} =\frac{16}{25\sqrt5}, \qquad f(0)=0. $$

2. б) $$f(x)=\frac{6(x-1)}{x^2+3}$$

   Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$

   Пересечения с осями:

   $$f(0)=\frac{6(0-1)}{0^2+3}=-2,$$
   значит, точка $$\,(0,-2).$$

   $$\frac{6(x-1)}{x^2+3}=0 \quad \Rightarrow \quad x=1,$$
   значит, точка $$\,(1,0).$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\frac{6(x^2+3)-6(x-1)\cdot 2x}{(x^2+3)^2} =\frac{-6(x+1)(x-3)}{(x^2+3)^2}. $$

   Критические точки:

   $$ -6(x+1)(x-3)=0 \quad \Rightarrow \quad x=-1,\; x=3. $$

   Знаки производной:

   $$(-\infty;-1)$$ — убывание,
   $$(-1;3)$$ — возрастание,
   $$(3;+\infty)$$ — убывание.

   Экстремумы:

   $$ f(-1)=\frac{6(-2)}{1+3}=-3, \qquad f(3)=\frac{6\cdot 2}{9+3}=1. $$

3. в) $$f(x)=x\sqrt{2-x}$$

   Область определения: $$2-x\ge 0,\quad x\le 2.$$

   Точки пересечения с осью абсцисс:

   $$ x\sqrt{2-x}=0 \quad \Rightarrow \quad x=0 \text{ или } x=2. $$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\sqrt{2-x}-\frac{x}{2\sqrt{2-x}} =\frac{2(2-x)-x}{2\sqrt{2-x}} =\frac{4-3x}{2\sqrt{2-x}}. $$

   Критическая точка:

   $$ 4-3x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac43. $$

   Так как знаменатель положителен при $$x<2,$$ то:

   $$(-\infty;\tfrac43)$$ — возрастание,
   $$(\tfrac43;2)$$ — убывание.

   Точка максимума:

   $$ f\!\left(\frac43\right)=\frac43\sqrt{2-\frac43} =\frac43\sqrt{\frac23}. $$

4. г) $$f(x)=\frac{2x}{1-x^2}$$

   Область определения: $$x\ne \pm 1.$$

   Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x).$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\frac{2(1-x^2)-2x(-2x)}{(1-x^2)^2} =\frac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2}. $$

   На области определения $$f'(x)>0,$$ значит, функция возрастает на каждом промежутке своей области определения:

   $$(-\infty;-1),\quad (-1;1),\quad (1;+\infty).$$

   Вертикальные асимптоты: $$x=-1$$ и $$x=1.$$

   График проходит через начало координат: $$f(0)=0.$$

Ответ

а) $$D(f)=[-1;+\infty),$$ возрастает на $$[-1;-\tfrac45]$$ и $$[0;+\infty),$$ убывает на $$[-\tfrac45;0],$$
$$f\!\left(-\tfrac45\right)=\frac{16}{25\sqrt5},\; f(0)=0.$$

б) $$D(f)=\mathbb{R},$$ возрастает на $$(-1;3),$$ убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$ (3;+\infty),$$
$$f(-1)=-3,\; f(3)=1.$$

в) $$D(f)=(-\infty;2],$$ возрастает на $$(-\infty;\tfrac43),$$ убывает на $$(\tfrac43;2),$$
$$f\!\left(\tfrac43\right)=\frac43\sqrt{\frac23}.$$

г) $$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\},$$ функция возрастает на $$(-\infty;-1),$$ $$(-1;1)$$ и $$ (1;+\infty),$$
асимптоты: $$x=\pm 1.$$