Упр.3 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Найдите значение:
а) ((125/8)^(2/3))^(-1/2);
б) 64^(1/5):2^(-1/5)·(2^(1/10))^6;
в) 16^(-1/4); г) (81/625)^(1/4).
3) Какое из чисел больше:
а) 16^(1/3) или 2^(5/4); б) 3^(-2/3) или 9^(-3/4);
в) 0,3^(4/7) или 0,3^(-4/7); г) 5^(-2/3) или 5^(-0,6)?

1) Степенью числа $$a>0$$ с рациональным показателем $$r=\frac{m}{n}$$, где $$m$$ — целое число, $$n\in \mathbb{N},\ n>1,$$ называется число

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$$

Основные свойства степеней:

• $$a^r\cdot a^s=a^{r+s};$$
• $$a^r:a^s=a^{r-s};$$
• $$\left(a^r\right)^s=a^{rs};$$
• $$\left(ab\right)^r=a^r b^r;$$
• $$\left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}.$$

2) Вычислим значения:

а)

$$\left(\left(\frac{125}{8}\right)^{\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{125}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}=\left(\frac{5}{2}\right)^{-1}=\frac{2}{5}.$$

б)

$$64^{\frac{1}{5}}:2^{-\frac{1}{5}}\cdot \left(2^{\frac{1}{10}}\right)^6=2^{\frac{6}{5}}:2^{-\frac{1}{5}}\cdot 2^{\frac{3}{5}}=2^{\frac{6}{5}+\frac{1}{5}+\frac{3}{5}}=2^2=4.$$

в)

$$16^{-\frac{1}{4}}=(2^4)^{-\frac{1}{4}}=2^{-1}=\frac{1}{2}.$$

г)

$$\left(\frac{81}{625}\right)^{\frac{1}{4}}=\left(\frac{3^4}{5^4}\right)^{\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}.$$

3) Сравним числа:

а)

$$16^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{2^4}=2^{\frac{4}{3}},$$

а так как $$\frac{5}{4}<\frac{4}{3},$$ то

$$2^{\frac{5}{4}}<2^{\frac{4}{3}}.$$

Значит, больше число $$16^{\frac{1}{3}}.$$

б)

$$9^{-\frac{3}{4}}=(3^2)^{-\frac{3}{4}}=3^{-\frac{3}{2}}.$$

Сравниваем показатели: $$-\frac{2}{3}>-\frac{3}{2},$$ поэтому

$$3^{-\frac{2}{3}}>3^{-\frac{3}{2}}.$$

Значит, больше число $$3^{-\frac{2}{3}}.$$

в)

Так как $$0<0{,}3<1,$$ то при большем показателе значение степени меньше. Поскольку

$$\frac{4}{7}>-\frac{4}{7},$$

то

$$0{,}3^{\frac{4}{7}}<0{,}3^{-\frac{4}{7}}.$$

Значит, больше число $$0{,}3^{-\frac{4}{7}}.$$

г)

$$5^{-\frac{2}{3}}=5^{-0{,}6\overline{6}\ldots},$$

а так как $$-\frac{2}{3}<-0{,}6,$$ то при основании $$5>1$$ большее значение имеет степень с большим показателем:

$$5^{-0{,}6}>5^{-\frac{2}{3}}.$$

Значит, больше число $$5^{-0{,}6}.$$

Ответ

1) $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$, $$a>0$$; свойства: $$a^r a^s=a^{r+s}$$, $$a^r:a^s=a^{r-s}$$, $$\left(a^r\right)^s=a^{rs}$$, $$\left(ab\right)^r=a^r b^r$$, $$\left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}$$.

2) а) $$\frac{2}{5}$$; б) $$4$$; в) $$\frac{1}{2}$$; г) $$\frac{3}{5}$$.

3) а) $$16^{\frac{1}{3}}$$; б) $$3^{-\frac{2}{3}}$$; в) $$0{,}3^{-\frac{4}{7}}$$; г) $$5^{-0{,}6}$$.