Упр.3 Глава 3 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Найдите общий вид первообразных для функции:
а) f(x)=sin(3x)-2/cos^2(x/2); б) f(x)=3/x^4-1/(2vx);
в) f(x)=(4-5x)^3-1/(2x-1)^3; г) f(x)=x-10 cos(2x).
3) Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку M:
а) f(x)=(2-3x)^2, M(1; 2); б) f(x)=sin(2x), M(?/4; -2);
в) f(x)=v2cos(x), M(?/4; 2); г) f(x)=-1/v(x+1), M(0; 3).

1. Правила нахождения первообразных:

   • если $$F$$ — первообразная для $$f$$, а $$G$$ — первообразная для $$g$$, то $$F+G$$ — первообразная для $$f+g$$;
   • если $$F$$ — первообразная для $$f$$, а $$k$$ — постоянная, то $$kF$$ — первообразная для $$kf$$;
   • если $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$, а $$k$$ и $$b$$ — постоянные ($$k \ne 0$$), то $$\frac{1}{k}F(kx+b)$$ — первообразная для $$f(kx+b)$$.

2. Найдём общий вид первообразных.

   а)

   $$f(x)=\sin 3x-\frac{2}{\cos^2 \frac{x}{2}}$$
   
   $$F(x)=-\frac{1}{3}\cos 3x-4\tg \frac{x}{2}+C.$$

   б)

   $$f(x)=\frac{3}{x^4}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
   
   $$F(x)=-\frac{1}{x^3}-\sqrt{x}+C.$$

   в)

   $$f(x)=(4-5x)^3-\frac{1}{(2x-1)^3}$$
   
   $$F(x)=-\frac{(4-5x)^4}{20}+\frac{1}{4(2x-1)^2}+C.$$

   г)

   $$f(x)=x-10\cos 2x$$
   
   $$F(x)=\frac{x^2}{2}-5\sin 2x+C.$$

3. Найдём первообразную, график которой проходит через заданную точку.

   а)

   $$f(x)=(2-3x)^2,\quad M(1;2)$$
   
   $$F(x)=-\frac{(2-3x)^3}{9}+C.$$
   
   Подставим точку $$M(1;2)$$:
   
   $$-\frac{(2-3)^3}{9}+C=2,$$
   
   $$\frac{1}{9}+C=2,\quad C=\frac{17}{9}.$$
   
   $$F(x)=\frac{17}{9}-\frac{(2-3x)^3}{9}.$$

   б)

   $$f(x)=\sin 2x,\quad M\left(\frac{\pi}{4};-2\right)$$
   
   $$F(x)=-\frac{1}{2}\cos 2x+C.$$
   
   Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{4};-2\right)$$:
   
   $$-\frac{1}{2}\cos \frac{\pi}{2}+C=-2,$$
   
   $$C=-2.$$
   
   $$F(x)=-\frac{1}{2}\cos 2x-2.$$

   в)

   $$f(x)=\sqrt{2}\cos x,\quad M\left(\frac{\pi}{4};2\right)$$
   
   $$F(x)=\sqrt{2}\sin x+C.$$
   
   Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{4};2\right)$$:
   
   $$\sqrt{2}\sin \frac{\pi}{4}+C=2,$$
   
   $$1+C=2,\quad C=1.$$
   
   $$F(x)=\sqrt{2}\sin x+1.$$

   г)

   $$f(x)=-\frac{1}{\sqrt{x+1}},\quad M(0;3)$$
   
   $$F(x)=-2\sqrt{x+1}+C.$$
   
   Подставим точку $$M(0;3)$$:
   
   $$-2\sqrt{1}+C=3,$$
   
   $$C=5.$$
   
   $$F(x)=-2\sqrt{x+1}+5.$$

Ответ

1) $$F+G$$ — первообразная для $$f+g$$; $$kF$$ — первообразная для $$kf$$; $$\frac{1}{k}F(kx+b)$$ — первообразная для $$f(kx+b)$$.
2) а) $$F(x)=-\frac{1}{3}\cos 3x-4\tg \frac{x}{2}+C$$; б) $$F(x)=-\frac{1}{x^3}-\sqrt{x}+C$$; в) $$F(x)=-\frac{(4-5x)^4}{20}+\frac{1}{4(2x-1)^2}+C$$; г) $$F(x)=\frac{x^2}{2}-5\sin 2x+C$$.
3) а) $$F(x)=\frac{17}{9}-\frac{(2-3x)^3}{9}$$; б) $$F(x)=-\frac{1}{2}\cos 2x-2$$; в) $$F(x)=\sqrt{2}\sin x+1$$; г) $$F(x)=-2\sqrt{x+1}+5$$.