Упр.3 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Дифференцируемая функция f задана графиком (рис. 117). Постройте касательные к графику f в указанных точках и найдите приближенные значения производной в точках a, b, с, d.
3) Продифференцируйте функцию:
a) f(x)=(x+2)sin(x); б) f(x)=4/(9+7x)^5;
в) f(x)=x^3-2/x+cos(3x); г) f(x)=x^2/(x+3).

1. Если функции $$u$$ и $$v$$ дифференцируемы в точке $$x_0$$, то дифференцируемы и их сумма, произведение, частное (при $$v(x_0)\neq 0$$), а производные находятся по формулам:

   $$(u+v)’=u’+v’,$$
   $$(uv)’=u’v+uv’,$$
   $$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2},$$
   $$(Cu)’=Cu’.$$

   Для степенной функции $$f(x)=x^n$$, где $$n$$ — целое число, имеем:

   $$f'(x)=nx^{n-1}.$$

2. По графику производная в точке равна угловому коэффициенту касательной.

   а) $$f'(a)=0,\quad f'(b)=-\frac{4}{3},\quad f'(c)=0,\quad f'(d)=\frac{4}{3}.$$

   б) $$f'(a)=0,\quad f'(b)=\frac{9}{8},\quad f'(c)=0,\quad f'(d)=-\frac{3}{2}.$$

3. Найдём производные функций.

   а) $$f(x)=(x+2)\sin x$$

   $$ f'(x)=1\cdot \sin x+(x+2)\cos x=\sin x+(x+2)\cos x $$

   б) $$f(x)=\frac{4}{(9+7x)^5}$$

   $$ f'(x)=4\cdot(-5)(9+7x)^{-6}\cdot 7=-\frac{140}{(9+7x)^6} $$

   в) $$f(x)=x^3-\frac{2}{x}+\cos 3x$$

   $$ f'(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}-3\sin 3x $$

   г) $$f(x)=\frac{x^2}{x+3}$$

   $$ f'(x)=\frac{2x(x+3)-x^2}{(x+3)^2} =\frac{x^2+6x}{(x+3)^2} $$

Ответ

1) $$(u+v)’=u’+v’,$$ $$(uv)’=u’v+uv’,$$ $$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2},$$ $$(Cu)’=Cu’,$$ $$\left(x^n\right)’=nx^{n-1}.$$
2) а) $$f'(a)=0,\ f'(b)=-\frac{4}{3},\ f'(c)=0,\ f'(d)=\frac{4}{3};$$ б) $$f'(a)=0,\ f'(b)=\frac{9}{8},\ f'(c)=0,\ f'(d)=-\frac{3}{2}.$$
3) а) $$f'(x)=\sin x+(x+2)\cos x;$$ б) $$f'(x)=-\frac{140}{(9+7x)^6};$$ в) $$f'(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}-3\sin 3x;$$ г) $$f'(x)=\frac{x^2+6x}{(x+3)^2}.$$