Упр.286 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 286. Докажите, что работа, которая производится против силы выталкивания воды при погружении однородного тела в воду, равна ?gVh. где ? — плотность воды, g — ускорение свободного падения, h — глубина погружения центра масс части тела, находящейся в воде, V — ее объем.

Сила выталкивания воды для погружённой части тела равна весу вытесненной воды:

$$F(x)=\rho gV(x).$$

Если погружение происходит постепенно, то объём погружённой части пропорционален глубине:

$$V(x)=kx,\qquad k=\frac{V}{h},$$

где $$V$$ — объём всей погружённой части тела, $$h$$ — глубина погружения её центра масс.

Тогда работа против силы выталкивания равна

$$ A=\int_0^h \rho gV(x)\,dx=\int_0^h \rho gkx\,dx. $$

Вычислим интеграл:

$$ A=\rho gk\int_0^h x\,dx=\rho gk\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^h =\rho gk\cdot \frac{h^2}{2}. $$

Подставим $$k=\frac{V}{h}$$:

$$ A=\rho g\cdot \frac{V}{h}\cdot \frac{h^2}{2} =\frac{\rho gVh}{2}. $$

Таким образом, работа, совершаемая против силы выталкивания воды, равна $$\frac{\rho gVh}{2}$$.

Ответ

$$\frac{\rho gVh}{2}$$