Упр.286 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) $$f(x)=x^3-27x+2$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3x^2-27=3(x^2-9)=3(x-3)(x+3).$$

   На промежутке $$P_1=[-1;1]$$ имеем $$f'(x)<0$$, значит, функция убывает. Проверим значения на концах:

   $$f(-1)=(-1)^3-27\cdot(-1)+2=28>0,$$

   $$f(1)=1^3-27\cdot1+2=-24<0.$$

   Так как функция на $$P_1$$ непрерывна, убывает и меняет знак, на этом промежутке уравнение имеет единственный корень.

   На промежутке $$P_2=[4;6]$$ имеем $$f'(x)>0$$, значит, функция возрастает. Тогда:

   $$f(4)=4^3-27\cdot4+2=-42<0,$$

   $$f(6)=6^3-27\cdot6+2=56>0.$$

   Следовательно, на $$P_2$$ уравнение также имеет единственный корень.

2. б) $$f(x)=x^4-4x-9$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=4x^3-4=4(x^3-1)=4(x-1)(x^2+x+1).$$

   Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x$$, то $$f'(x)<0$$ при $$x<1$$ и $$f'(x)>0$$ при $$x>1$$.

   На $$P_1=[-2;0]$$ функция убывает. Проверим концы:

   $$f(-2)=(-2)^4-4\cdot(-2)-9=15>0,$$

   $$f(0)=0^4-4\cdot0-9=-9<0.$$

   Значит, на $$P_1$$ уравнение имеет единственный корень.

   На $$P_2=[2;3]$$ функция возрастает. Тогда:

   $$f(2)=2^4-4\cdot2-9=-1<0,$$

   $$f(3)=3^4-4\cdot3-9=48>0.$$

   Следовательно, на $$P_2$$ уравнение имеет единственный корень.

3. в) $$f(x)=x^4+6x^2-8$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=4x^3+12x=4x(x^2+3).$$

   Так как $$x^2+3>0$$ при всех $$x$$, то функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$.

   На $$P_1=[-2;-1]$$ функция убывает. Проверим концы:

   $$f(-2)=(-2)^4+6\cdot(-2)^2-8=32>0,$$

   $$f(-1)=(-1)^4+6\cdot(-1)^2-8=-1<0.$$

   Значит, на $$P_1$$ уравнение имеет единственный корень.

   На $$P_2=[1;2]$$ функция возрастает. Тогда:

   $$f(1)=1^4+6\cdot1^2-8=-1<0,$$

   $$f(2)=2^4+6\cdot2^2-8=32>0.$$

   Следовательно, на $$P_2$$ уравнение имеет единственный корень.

4. г) $$f(x)=-1+3x^2-x^3$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x).$$

   Функция возрастает на $$[0;2]$$ и убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;+\infty)$$.

   На $$P_1=[-2;0]$$ функция убывает. Проверим концы:

   $$f(-2)=-1+3\cdot(-2)^2-(-2)^3=19>0,$$

   $$f(0)=-1<0.$$

   Значит, на $$P_1$$ уравнение имеет единственный корень.

   На $$P_2=[2;3]$$ функция убывает. Тогда:

   $$f(2)=-1+3\cdot2^2-2^3=3>0,$$

   $$f(3)=-1+3\cdot3^2-3^3=-1<0.$$

   Следовательно, на $$P_2$$ уравнение имеет единственный корень.

Ответ

Во всех пунктах на каждом из данных промежутков уравнение имеет единственный корень.