Упр.285 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 285. Найдите центр масс однородного полушара радиуса R.

Подробный ответ

Рассмотрим полушар как тело вращения. Пусть его центр масс лежит на оси симметрии, а начало координат выбрано в центре основания полушара. Тогда по симметрии

$$x_c=0,\qquad y_c=0.$$

Найдём только координату вдоль оси симметрии. Для однородного полушара радиуса $$R$$ масса равна

$$M=\frac{2\pi R^3}{3}.$$

Площадь сечения на расстоянии $$r$$ от оси равна

$$S=\pi(R^2-r^2).$$

Тогда ордината центра масс:

$$ z_c=\frac{1}{M}\int_0^R r\cdot \pi(R^2-r^2)\,dr. $$

Вычислим интеграл:

$$ z_c=\frac{1}{M}\int_0^R (\pi R^2r-\pi r^3)\,dr =\frac{1}{M}\left(\frac{\pi R^2r^2}{2}-\frac{\pi r^4}{4}\right)\Bigg|_0^R. $$

$$ z_c=\frac{1}{M}\left(\frac{\pi R^4}{2}-\frac{\pi R^4}{4}\right) =\frac{1}{M}\cdot \frac{\pi R^4}{4}. $$

Подставим $$M=\frac{2\pi R^3}{3}$$:

$$ z_c=\frac{\pi R^4}{4}\cdot \frac{3}{2\pi R^3} =\frac{3R}{8}. $$