Упр.283 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) $$f(x)=x^3+3x^2-9x+1$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x-1)(x+3).$$
Критические точки: $$x=-3,\; x=1.$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(1;\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-3;1).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-3]$$ и $$[1;\infty),$$ убывает на $$[-3;1].$$
Для построения графика найдём значения в точках экстремума:
$$f(-3)=(-3)^3+3\cdot(-3)^2-9\cdot(-3)+1=28,$$
$$f(1)=1^3+3\cdot1^2-9\cdot1+1=-4.$$
б) $$f(x)=4x^3-1{,}5x^4$$
Найдём производную:
$$f'(x)=12x^2-6x^3=6x^2(2-x).$$
Критические точки: $$x=0,\; x=2.$$
Так как $$6x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$2-x.$$ Поэтому
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(0;2),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(2;\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;2]$$ и убывает на $$[2;\infty).$$
Найдём значение в точке максимума:
$$f(2)=4\cdot2^3-1{,}5\cdot2^4=8.$$
в) $$f(x)=2+9x+3x^2-x^3$$
Найдём производную:
$$f'(x)=9+6x-3x^2=-3(x-3)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1,\; x=3.$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-1;3),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(3;\infty).$$
Значит, функция возрастает на $$[-1;3]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[3;\infty).$$
Значения в точках экстремума:
$$f(-1)=2+9\cdot(-1)+3\cdot(-1)^2-(-1)^3=-3,$$
$$f(3)=2+9\cdot3+3\cdot3^2-3^3=29.$$
г) $$f(x)=x^4-2x^2$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1,\; x=0,\; x=1.$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-1;0)\cup(1;\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(0;1).$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1].$$
Для построения графика найдём значения:
$$f(-1)=f(1)=-1,\qquad f(0)=0.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$x^4-2x^2=0,$$
$$x^2(x^2-2)=0,$$
$$x=0,\; x=\pm\sqrt2.$$
Ответ
а) возрастает на $$(-\infty;-3]$$ и $$[1;\infty),$$ убывает на $$[-3;1]$$;
б) возрастает на $$(-\infty;2]$$, убывает на $$[2;\infty)$$;
в) возрастает на $$[-1;3]$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[3;\infty)$$;
г) возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1]$$.
