Упр.281 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 281. Капля воды с начальной массой М падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу m. Какова работа силы тяжести за время от начала падения капли до ее полного испарения?

Масса капли убывает равномерно, значит через время $$t$$ она равна

$$m(t)=M-mt.$$

Сила тяжести в этот момент:

$$F(t)=m(t)g=(M-mt)g.$$

Скорость свободно падающей капли:

$$v(t)=gt.$$

Работа силы тяжести за всё время до полного испарения равна

$$A=\int_0^{\frac{M}{m}} F(t)\,v(t)\,dt=\int_0^{\frac{M}{m}} (M-mt)g\cdot gt\,dt.$$

Тогда

$$ A=\int_0^{\frac{M}{m}} (Mg^2t-mg^2t^2)\,dt =\left(\frac{Mg^2t^2}{2}-\frac{mg^2t^3}{3}\right)\Bigg|_0^{\frac{M}{m}}. $$

Подставим пределы интегрирования:

$$ A=\frac{Mg^2}{2}\cdot \frac{M^2}{m^2}-\frac{mg^2}{3}\cdot \frac{M^3}{m^3} =\frac{g^2M^3}{2m^2}-\frac{g^2M^3}{3m^2} =\frac{g^2M^3}{6m^2}. $$

Ответ

$$\frac{g^2M^3}{6m^2}$$