Упр.281 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 281. Найдите пары чисел a и b, при которых функция f(x)=a sin(?x)+b удовлетворяет условиям: f'(2)=2, (0; 2)?f(x)dx=4.

Дана функция $$f(x)=a\sin \pi x+b.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=a\pi \cos \pi x.$$

Из первого условия $$f'(2)=2$$ получаем:

$$a\pi \cos 2\pi=2,$$

так как $$\cos 2\pi=1,$$ то

$$a\pi=2,\qquad a=\frac{2}{\pi}.$$

Теперь используем второе условие:

$$\int_0^2 f(x)\,dx=4.$$

Подставим найденное значение $$a$$:

$$\int_0^2 \left(\frac{2}{\pi}\sin \pi x+b\right)dx=4.$$

Вычислим интеграл:

$$\int_0^2 \frac{2}{\pi}\sin \pi x\,dx+\int_0^2 b\,dx=4,$$

$$\left[-\frac{2}{\pi^2}\cos \pi x+bx\right]_0^2=4.$$

Подставим пределы:

$$\left(-\frac{2}{\pi^2}\cos 2\pi+2b\right)-\left(-\frac{2}{\pi^2}\cos 0\right)=4.$$

Так как $$\cos 2\pi=\cos 0=1,$$ получаем:

$$-\frac{2}{\pi^2}+2b+\frac{2}{\pi^2}=4,$$

$$2b=4,\qquad b=2.$$

Ответ

$$a=\frac{2}{\pi},\quad b=2.$$