Упр.280 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 280. При каком значении а площадь фигуры, ограниченной осью Ох, графиком функции y=x^3+3x^2+x+a и вертикалями x=const в точках экстремума этой функции, будет наименьшей?

Подробный ответ

Найдём точки экстремума функции

$$y=x^3+3x^2+x+a.$$

Производная:

$$y'(x)=3x^2+6x+1.$$

Решим уравнение $$y'(x)=0$$:

$$ 3x^2+6x+1=0, \\ D=6^2-4\cdot 3\cdot 1=36-12=24, \\ x=\frac{-6\pm\sqrt{24}}{2\cdot 3}=\frac{-6\pm 2\sqrt6}{6}=\frac{-3\pm\sqrt6}{3}. $$

Обозначим

$$x_1=\frac{-3-\sqrt6}{3}, \qquad x_2=\frac{-3+\sqrt6}{3}.$$

Площадь фигуры, ограниченной осью $$Ox$$, графиком функции и вертикалями в точках экстремума, равна

$$S=\int_{x_1}^{x_2}\left(x^3+3x^2+x+a\right)\,dx.$$

Чтобы эта площадь была наименьшей, нужно, чтобы она была равна нулю, то есть график между точками экстремума касался оси $$Ox$$ по границе фигуры. Тогда

$$\int_{x_1}^{x_2}\left(x^3+3x^2+x+a\right)\,dx=0.$$

Первообразная:

$$F(x)=\frac14x^4+x^3+\frac12x^2+ax.$$

Подставим пределы интегрирования:

$$ F\!\left(\frac{-3+\sqrt6}{3}\right)-F\!\left(\frac{-3-\sqrt6}{3}\right)=0. $$

После упрощения получаем:

$$2+2a=0,$$

откуда

$$a=-1.$$