Упр.28 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 28. Докажите, что для любого числа М найдется такое натуральное n, что сумма 1+1/2+1/3+…+1/n будет больше М.

Рассмотрим сумму

$$S_n=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac1n.$$

Сгруппируем слагаемые так:

$$S_n>1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\cdots.$$

В каждой группе все слагаемые не меньше, чем последнее из них. Поэтому

$$\frac13+\frac14>\frac14+\frac14=\frac12,$$

$$\frac15+\frac16+\frac17+\frac18>\frac18+\frac18+\frac18+\frac18=\frac12,$$

и вообще каждая следующая группа даёт сумму больше $$\frac12.$$

Тогда для некоторого числа групп получаем

$$S_n>1+\frac12+\frac12+\frac12+\cdots.$$

Если взять достаточно много групп, правая часть станет больше любого заранее заданного числа $$M$$. Значит, можно выбрать такое натуральное $$n$$, что

$$1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n>M.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

Для любого числа $$M$$ найдётся натуральное $$n$$, такое что $$1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n>M.$$