Упр.279 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 279. В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороны в ее середине?

Пусть сторона квадрата равна $$2a.$$ Тогда удобно расположить квадрат так, чтобы парабола имела вид

$$y=kx^2.$$

Так как она проходит через середину стороны квадрата, то при $$x=a$$ имеем $$y=2a$$. Значит,

$$ka^2=2a, \qquad k=\frac{2}{a},$$

и уравнение параболы:

$$y=\frac{2}{a}x^2.$$

Площадь верхней части квадрата, ограниченной параболой, найдём интегрированием:

$$ S_1=\int_{-a}^{a}\left(2a-\frac{2}{a}x^2\right)\,dx = \left(2ax-\frac{2x^3}{3a}\right)\Bigg|_{-a}^{a}. $$

Тогда

$$ S_1=\left(2a^2-\frac{2a^2}{3}\right)-\left(-2a^2+\frac{2a^2}{3}\right) =\frac{8a^2}{3}. $$

Площадь квадрата равна

$$S= (2a)^2=4a^2.$$

Следовательно, площадь нижней части:

$$ S_2=S-S_1=4a^2-\frac{8a^2}{3}=\frac{4a^2}{3}. $$

Искомое отношение:

$$ S_1:S_2=\frac{8a^2}{3}:\frac{4a^2}{3}=2:1. $$

Ответ

$$2:1$$