Упр.278 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 278. Докажите, что площадь параболического сегмента, заключенного между параболой y=x^2 и произвольной прямой, параллельной оси абсцисс, равна 2/3 площади прямоугольника с вершинами в точках пересечения прямой с параболой и основаниями перпендикуляров к оси абсцисс, опущенных из точек пересечения.

Подробный ответ

Пусть прямая имеет уравнение $$y=a$$, где $$a>0$$. Тогда точки пересечения с параболой $$y=x^2$$ находятся из уравнения

$$x^2=a,$$

откуда

$$x=\pm\sqrt{a}.$$

Значит, площадь параболического сегмента равна

$$ S=\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}(a-x^2)\,dx =\left(ax-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}. $$

Вычислим:

$$ S=\left(a\sqrt{a}-\frac{(\sqrt{a})^3}{3}\right)-\left(-a\sqrt{a}+\frac{(\sqrt{a})^3}{3}\right) =\frac{4a\sqrt{a}}{3}. $$

Теперь найдём площадь прямоугольника, вершины которого лежат в точках пересечения прямой с параболой, а основания его сторон опущены на ось абсцисс. Его основание равно

$$2\sqrt{a},$$

а высота равна $$a$$, поэтому

$$S_{\text{прям}}=2\sqrt{a}\cdot a=2a\sqrt{a}.$$

Сравним площади:

$$ \frac{S}{S_{\text{прям}}} =\frac{\frac{4a\sqrt{a}}{3}}{2a\sqrt{a}} =\frac{2}{3}. $$

Следовательно, площадь параболического сегмента равна $$\frac{2}{3}$$ площади соответствующего прямоугольника.