Упр.278 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 278. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2-4x+5 и касательными к ней, проведенными через ее точки с абсциссами x=1 и x=3.

Найдём уравнения касательных к параболе $$y=x^2-4x+5$$ в точках с абсциссами $$x=1$$ и $$x=3$$.

Производная:

$$y’ = 2x-4.$$

При $$x=1$$:

$$y(1)=1-4+5=2, \qquad y'(1)=2\cdot 1-4=-2.$$

Уравнение касательной:

$$y-2=-2(x-1),$$

откуда

$$y=4-2x.$$

При $$x=3$$:

$$y(3)=9-12+5=2, \qquad y'(3)=2\cdot 3-4=2.$$

Уравнение касательной:

$$y-2=2(x-3),$$

откуда

$$y=2x-4.$$

Точки пересечения касательных найдём из уравнения

$$4-2x=2x-4,$$

$$x=2.$$

Площадь фигуры равна сумме площадей двух частей:

$$ S=\int_1^2 \bigl((x^2-4x+5)-(4-2x)\bigr)\,dx+\int_2^3 \bigl((x^2-4x+5)-(2x-4)\bigr)\,dx. $$

Упростим подынтегральные выражения:

$$ S=\int_1^2 (x^2-2x+1)\,dx+\int_2^3 (x^2-6x+9)\,dx. $$

Вычислим интегралы:

$$ S=\left(\frac{x^3}{3}-x^2+x\right)\Bigg|_1^2+\left(\frac{x^3}{3}-3x^2+9x\right)\Bigg|_2^3. $$

$$ S=\left(\frac{8}{3}-4+2\right)-\left(\frac{1}{3}-1+1\right)+\left(9-27+27\right)-\left(\frac{8}{3}-12+18\right). $$

$$ S=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}. $$

Ответ

$$\frac{4}{3}$$