Упр.275 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (a; b)?dx/(x-2); б) (0; 3)?dx/(x-c); в) (a; b)?dx/(x+c)?

Интеграл вида $$\int \frac{dx}{x-a}$$ определён на отрезке только тогда, когда точка разрыва $$x=a$$ не попадает внутрь отрезка и не совпадает с его концами.

а)

$$\int_a^b \frac{dx}{x-2}$$

Чтобы интеграл был определён, нужно, чтобы на отрезке $$[a;b]$$ не было точки $$x=2$$. Значит, оба конца отрезка должны лежать по одну сторону от числа $$2$$:

$$a>2,\ b>2 \quad \text{или} \quad a<2,\ b<2.$$

б)

$$\int_0^3 \frac{dx}{x-c}$$

Точка разрыва $$x=c$$ не должна принадлежать отрезку $$[0;3]$$. Следовательно,

$$c<0 \quad \text{или} \quad c>3.$$

в)

$$\int_a^b \frac{dx}{x+c}$$

Здесь точка разрыва равна $$x=-c$$. Чтобы интеграл был определён, эта точка не должна лежать на отрезке $$[a;b]$$. Значит,

$$a>-c,\ b>-c \quad \text{или} \quad a<-c,\ b<-c.$$

Ответ

а) $$a>2,\ b>2$$ или $$a<2,\ b<2$$;

б) $$c<0$$ или $$c>3$$;

в) $$a>-c,\ b>-c$$ или $$a<-c,\ b<-c$$.