Упр.275 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=0,5x^2-2x+3, y=7-x; б) y=(x-2)^2, y=4-x^2;
в) y=x^2-3x+4, y=x+1; г) y=x^2-2x+2, y=2+4x-x^2.

Подробный ответ

а) Найдём точки пересечения графиков:
$$0{,}5x^2-2x+3=7-x$$
$$0{,}5x^2-x-4=0$$
$$x^2-2x-8=0$$
$$D=36,\quad x_1=-2,\quad x_2=4.$$
На отрезке $$[-2;4]$$ сверху прямая $$y=7-x$$, снизу парабола $$y=0{,}5x^2-2x+3$$.
$$S=\int\limits_{-2}^{4}\bigl((7-x)-(0{,}5x^2-2x+3)\bigr)\,dx=\int\limits_{-2}^{4}(4+x-0{,}5x^2)\,dx$$
$$S=\left(4x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\right)\Bigg|_{-2}^{4}=18.$$
б)
$$ (x-2)^2=4-x^2 $$
$$x^2-4x+4=4-x^2$$
$$2x^2-4x=0$$
$$2x(x-2)=0,\quad x_1=0,\quad x_2=2.$$
На отрезке $$[0;2]$$ сверху график $$y=4-x^2$$, снизу график $$y=(x-2)^2$$.
$$S=\int\limits_{0}^{2}\bigl((4-x^2)-(x-2)^2\bigr)\,dx=\int\limits_{0}^{2}(4x-2x^2)\,dx$$
$$S=\left(2x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}.$$
в)
$$x^2-3x+4=x+1$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$D=4,\quad x_1=1,\quad x_2=3.$$
На отрезке $$[1;3]$$ сверху прямая $$y=x+1$$, снизу парабола $$y=x^2-3x+4$$.
$$S=\int\limits_{1}^{3}\bigl((x+1)-(x^2-3x+4)\bigr)\,dx=\int\limits_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx$$
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\Bigg|_{1}^{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}.$$
г)
$$x^2-2x+2=2+4x-x^2$$
$$2x^2-6x=0$$
$$2x(x-3)=0,\quad x_1=0,\quad x_2=3.$$
На отрезке $$[0;3]$$ сверху график $$y=2+4x-x^2$$, снизу график $$y=x^2-2x+2$$.
$$S=\int\limits_{0}^{3}\bigl((2+4x-x^2)-(x^2-2x+2)\bigr)\,dx=\int\limits_{0}^{3}(6x-2x^2)\,dx$$
$$S=\left(3x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{3}=9.$$