Упр.274 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 274. Вычислите площадь фигуры, состоящей из точек, лежащих внутри эллипса. (Эллипсом называется фигура, координаты точек которой удовлетворяют равенству x^2/a^2+y^2/b^2=1.)

Уравнение эллипса имеет вид

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Выразим верхнюю половину эллипса:

$$y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}.$$

Площадь всей фигуры в 4 раза больше площади четверти эллипса:

$$\frac{S}{4}=\int\limits_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,dx.$$

Сделаем замену:

$$x=a\sin\alpha,\qquad dx=a\cos\alpha\,d\alpha.$$

Тогда при $$x=0$$ имеем $$\alpha=0$$, а при $$x=a$$ имеем $$\alpha=\frac{\pi}{2}$$. Получаем

$$\frac{S}{4}=\int\limits_0^{\pi/2} b\sqrt{1-\sin^2\alpha}\cdot a\cos\alpha\,d\alpha.$$

Так как на промежутке $$0\le \alpha\le \frac{\pi}{2}$$ выполняется $$\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\cos\alpha$$, то

$$\frac{S}{4}=\int\limits_0^{\pi/2} ab\cos^2\alpha\,d\alpha.$$

Используем формулу

$$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}.$$

Тогда

$$\frac{S}{4}=\frac{ab}{2}\int\limits_0^{\pi/2}(1+\cos 2\alpha)\,d\alpha =\frac{ab}{2}\left(\alpha+\frac12\sin 2\alpha\right)\Bigg|_0^{\pi/2}.$$

Следовательно,

$$\frac{S}{4}=\frac{ab}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi ab}{4}.$$

Значит,

$$S=\pi ab.$$

Ответ

$$\pi ab$$