Упр.271 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) (n > ?)lim(1/n(sin(?/n)+sin(2?/n)+…+sin(n-1)?/n));
б) (n > ?)lim(1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n));
в) (n > ?)lim((1^p+2^p+…+n^p)/n^(p+1)) при p > 0;
г) (n > ?)lim(n^(p-1)/(n+1)^p+n^(p-1)/(n+2)^p+…+n^(p-1)/(n+n)^p) при p > 1.

Подробный ответ

а) Рассмотрим сумму как интегральную:
$$ \frac{1}{n}\left(\sin\frac{\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}+\cdots+\sin\frac{(n-1)\pi}{n}\right) $$
Это сумма Римана для функции $$f(x)=\sin \pi x$$ на отрезке $$[0,1]$$ при $$\Delta x=\frac{1}{n}$$. Тогда
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n} =\int_0^1 \sin \pi x\,dx =\left.-\frac{\cos \pi x}{\pi}\right|_0^1 =\frac{2}{\pi}. $$
б) Запишем сумму в виде
$$ \frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+\frac1n}+\frac{1}{1+\frac2n}+\cdots+\frac{1}{1+\frac nn}\right). $$
Это сумма Римана для функции $$f(x)=\frac{1}{1+x}$$ на отрезке $$[0,1]$$. Поэтому
$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\right) =\int_0^1 \frac{dx}{1+x} =\left.\ln(1+x)\right|_0^1 =\ln 2. $$
в) Имеем
$$ \frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}} =\frac{1}{n}\left(\left(\frac1n\right)^p+\left(\frac2n\right)^p+\cdots+\left(\frac nn\right)^p\right). $$
Это сумма Римана для функции $$f(x)=x^p$$ на $$[0,1]$$. Тогда
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}} =\int_0^1 x^p\,dx =\left.\frac{x^{p+1}}{p+1}\right|_0^1 =\frac{1}{p+1}. $$
г) Преобразуем сумму:
$$ \frac{n^{p-1}}{(n+1)^p}+\frac{n^{p-1}}{(n+2)^p}+\cdots+\frac{n^{p-1}}{(n+n)^p} =\frac{1}{n}\left(\frac{1}{\left(1+\frac1n\right)^p}+\frac{1}{\left(1+\frac2n\right)^p}+\cdots+\frac{1}{\left(1+\frac nn\right)^p}\right). $$
Это сумма Римана для функции $$f(x)=\frac{1}{(1+x)^p}$$ на $$[0,1]$$. Следовательно,
$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{p-1}}{(n+1)^p}+\frac{n^{p-1}}{(n+2)^p}+\cdots+\frac{n^{p-1}}{(n+n)^p}\right) =\int_0^1 \frac{dx}{(1+x)^p}. $$
При $$p>1$$
$$ \int_0^1 \frac{dx}{(1+x)^p} =\left.\frac{(1+x)^{1-p}}{1-p}\right|_0^1 =\frac{2^{1-p}-1}{1-p}. $$