Упр.270 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) (0; 28)?(5-x)/(1+x/4)^(1/3)dx;
б) (0; 1)?xe^x^2 dx;
в) (-2; 0)?x(1-x/2)^(1/3)dx;
г) (-?/2; ?/2)?(cos^2(x)+cos^4(x))dx.

Подробный ответ

а) Сделаем замену переменной:
$$y=1+\frac{x}{4}, \qquad x=4y-4, \qquad dx=4\,dy.$$
Тогда при $$x=0$$ имеем $$y=1$$, а при $$x=28$$ имеем $$y=8$$. Получаем
$$ \int_0^{28}\frac{5-x}{\sqrt[3]{1+\frac{x}{4}}}\,dx = \int_1^8 \frac{9-4y}{y^{1/3}}\cdot 4\,dy = \int_1^8 \left(36y^{-1/3}-16y^{2/3}\right)dy. $$
Интегрируем:
$$ \int \left(36y^{-1/3}-16y^{2/3}\right)dy = 54y^{2/3}-\frac{48}{5}y^{5/3}. $$
Тогда
$$ S=\left(54y^{2/3}-\frac{48}{5}y^{5/3}\right)\Bigg|_1^8 =\left(54\cdot 4-\frac{48}{5}\cdot 32\right)-\left(54-\frac{48}{5}\right) =-\frac{678}{5}. $$
б) Сделаем замену:
$$y=x^2, \qquad dy=2x\,dx, \qquad x\,dx=\frac{1}{2}dy.$$
При $$x=0$$ имеем $$y=0$$, при $$x=1$$ имеем $$y=1$$. Тогда
$$ \int_0^1 xe^{x^2}\,dx = \frac12\int_0^1 e^y\,dy = \frac12 e^y\Bigg|_0^1 = \frac{e-1}{2}. $$
в) Сделаем замену:
$$y=1-\frac{x}{2}, \qquad x=2-2y, \qquad dx=-2\,dy.$$
При $$x=2$$ имеем $$y=0$$, при $$x=0$$ имеем $$y=1$$. Тогда
$$ \int_2^0 x\sqrt[3]{1-\frac{x}{2}}\,dx = \int_0^1 (2-2y)y^{1/3}(-2)\,dy = \int_0^1 \left(4y^{4/3}-4y^{1/3}\right)dy. $$
Интегрируем:
$$ \int_0^1 \left(4y^{4/3}-4y^{1/3}\right)dy = \left(\frac{12}{7}y^{7/3}-3y^{4/3}\right)\Bigg|_0^1 = \frac{12}{7}-3 = -\frac{9}{7}. $$
г) Используем формулы:
$$ \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \cos^4 x=\left(\cos^2 x\right)^2=\frac{1+2\cos 2x+\cos^2 2x}{4}. $$
Так как
$$ \cos^2 2x=\frac{1+\cos 4x}{2}, $$
то
$$ \cos^2 x+\cos^4 x = \frac{1+\cos 2x}{2} + \frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}. $$
Следовательно,
$$ S=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}\right)dx. $$
Интегрируем:
$$ S=\left(\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+\frac{3x}{8}+\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}\right)\Bigg|_{-\pi/2}^{\pi/2}. $$
С учётом того, что $$\sin(\pm \pi)=0$$ и $$\sin(\pm 2\pi)=0$$, получаем
$$ S=\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{16}\right)-\left(-\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{16}\right) =\frac{7\pi}{8}. $$