Упр.268 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (-a; a)?f(x)dx=0, если f(x) — нечетная функция;
б) (-a; a)?f(x)dx=2(0; a)?f(x)dx, если f(x) — четная функция.

Пусть $$F(x)$$ — первообразная функции $$f(x)$$. Тогда

$$\int\limits_{-a}^{a} f(x)\,dx = F(a)-F(-a).$$

а) Если $$f(x)$$ — нечётная функция, то $$f(-x)=-f(x)$$. Тогда первообразная $$F(x)$$ будет чётной, то есть $$F(-x)=F(x)$$.

Следовательно,

$$\int\limits_{-a}^{a} f(x)\,dx = F(a)-F(-a)=F(a)-F(a)=0.$$

б) Если $$f(x)$$ — чётная функция, то $$f(-x)=f(x)$$. Тогда первообразная $$F(x)$$ будет нечётной, то есть $$F(-x)=-F(x)$$.

Поэтому

$$\int\limits_{-a}^{a} f(x)\,dx = F(a)-F(-a)=F(a)+F(a)=2F(a).$$

Так как для чётной функции

$$\int\limits_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int\limits_{-a}^{0} f(x)\,dx+\int\limits_{0}^{a} f(x)\,dx,$$

а на отрезках $$[-a,0]$$ и $$[0,a]$$ значения интеграла равны, то

$$\int\limits_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int\limits_{0}^{a} f(x)\,dx.$$

Ответ

$$\int\limits_{-a}^{a} f(x)\,dx=0$$ при нечётной $$f(x)$$; $$\int\limits_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int\limits_{0}^{a} f(x)\,dx$$ при чётной $$f(x)$$.