Упр.268 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=4sin(x)+cos(3x); б) f(x)=x^2+x^(-5)+x^(2+v3);
в) f(x)=2+3/(x-1); г) f(x)=2/cos^2(2x)+3/sin^2(3x).

Найдём первообразные по правилам интегрирования:

$$\int \sin x\,dx=-\cos x+C,\qquad \int \cos kx\,dx=\frac{1}{k}\sin kx+C,$$
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\ne -1),\qquad \int \frac{dx}{x-a}=\ln|x-a|+C,$$
$$\int \frac{dx}{\cos^2 x}=\tg x+C,\qquad \int \frac{dx}{\sin^2 x}=-\ctg x+C.$$

1. $$f(x)=4\sin x+\cos 3x.$$
   Тогда
   $$ F(x)=\int \left(4\sin x+\cos 3x\right)\,dx =-4\cos x+\frac{1}{3}\sin 3x+C. $$

2. $$f(x)=x^2+x^{-5}+x^{2+\sqrt3}.$$
   Тогда
   $$ F(x)=\int \left(x^2+x^{-5}+x^{2+\sqrt3}\right)\,dx =\frac{x^3}{3}-\frac{x^{-4}}{4}+\frac{x^{3+\sqrt3}}{3+\sqrt3}+C. $$

3. $$f(x)=2+\frac{3}{x-1},\quad x\ne 1.$$
   Тогда
   $$ F(x)=\int \left(2+\frac{3}{x-1}\right)\,dx =2x+3\ln|x-1|+C. $$

4. $$f(x)=\frac{2}{\cos^2 2x}+\frac{3}{\sin^2 3x}.$$
   Тогда
   $$ F(x)=\int \left(\frac{2}{\cos^2 2x}+\frac{3}{\sin^2 3x}\right)\,dx =\tg 2x-\ctg 3x+C. $$

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{а) } F(x)=-4\cos x+\frac13\sin 3x+C;\\ &\text{б) } F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^{-4}}{4}+\frac{x^{3+\sqrt3}}{3+\sqrt3}+C;\\ &\text{в) } F(x)=2x+3\ln|x-1|+C;\\ &\text{г) } F(x)=\tg 2x-\ctg 3x+C. \end{aligned} $$