Упр.267 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 267. Пусть f(x) — многочлен степени не выше 3. Докажите, что (a; b)?f(x)dx=(b-a)/6 (y_1+4y_2+y_3), где y+1=f(a), y_2=f((a+b)/2), y_3=f(b).

Докажем равенство для любого многочлена степени не выше $3$. Достаточно проверить его для базисных функций $1$, $x$, $x^2$, $x^3$, так как интеграл и правая часть линейны по $f(x)$.

Обозначим

$$y_1=f(a), \qquad y_2=f\!\left(\frac{a+b}{2}\right), \qquad y_3=f(b).$$

1) Для $f(x)=1$:

$$ \int_a^b 1\,dx=b-a, $$

а также

$$ y_1=1,\qquad y_2=1,\qquad y_3=1. $$

Тогда

$$ \frac{b-a}{6}(y_1+4y_2+y_3) =\frac{b-a}{6}(1+4+1)=b-a. $$

2) Для $f(x)=x$:

$$ \int_a^b x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_a^b=\frac{b^2-a^2}{2}. $$

При этом

$$ y_1=a,\qquad y_2=\frac{a+b}{2},\qquad y_3=b. $$

Следовательно,

$$ \frac{b-a}{6}(y_1+4y_2+y_3) =\frac{b-a}{6}\left(a+4\cdot\frac{a+b}{2}+b\right) $$

$$ =\frac{b-a}{6}(3a+3b) =\frac{(b-a)(a+b)}{2} =\frac{b^2-a^2}{2}. $$

3) Для $f(x)=x^2$:

$$ \int_a^b x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_a^b=\frac{b^3-a^3}{3}. $$

Здесь

$$ y_1=a^2,\qquad y_2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2,\qquad y_3=b^2. $$

Тогда

$$ \frac{b-a}{6}(y_1+4y_2+y_3) =\frac{b-a}{6}\left(a^2+4\cdot\frac{(a+b)^2}{4}+b^2\right) $$

$$ =\frac{b-a}{6}\left(a^2+(a+b)^2+b^2\right) =\frac{b-a}{6}\left(2a^2+2ab+2b^2\right) $$

$$ =\frac{(b-a)(a^2+ab+b^2)}{3} =\frac{b^3-a^3}{3}. $$

4) Для $f(x)=x^3$:

$$ \int_a^b x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_a^b=\frac{b^4-a^4}{4}. $$

Кроме того,

$$ y_1=a^3,\qquad y_2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^3,\qquad y_3=b^3. $$

Тогда

$$ \frac{b-a}{6}(y_1+4y_2+y_3) =\frac{b-a}{6}\left(a^3+4\cdot\frac{(a+b)^3}{8}+b^3\right) $$

$$ =\frac{b-a}{6}\left(a^3+\frac{(a+b)^3}{2}+b^3\right) =\frac{b-a}{6}\cdot\frac{2a^3+(a+b)^3+2b^3}{2}. $$

Раскроем куб:

$$ 2a^3+(a+b)^3+2b^3 =2a^3+a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+2b^3 $$

$$ =3a^3+3a^2b+3ab^2+3b^3 =3(a+b)(a^2+b^2). $$

Значит,

$$ \frac{b-a}{6}(y_1+4y_2+y_3) =\frac{b-a}{6}\cdot\frac{3(a+b)(a^2+b^2)}{2} =\frac{(b-a)(a+b)(a^2+b^2)}{4}. $$

Так как

$$ (b-a)(a+b)=b^2-a^2, $$

то

$$ \frac{(b-a)(a+b)(a^2+b^2)}{4} =\frac{(b^2-a^2)(a^2+b^2)}{4} =\frac{b^4-a^4}{4}. $$

Итак, равенство верно для $1$, $x$, $x^2$, $x^3$, а значит, верно для любого многочлена степени не выше $3$.

Ответ

$$ \int_a^b f(x)\,dx=\frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right) $$
для любого многочлена степени не выше $3$.