Упр.266 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) x(t)=x_0+(t_0; t)?v(t)dt, если известна ее скоростьv(t) в любой момент t и координата точки в начальный момент t_0 равна х_0;
б) v(t)=v_0+(t_0; t)?a(t)dt, если известно ее ускорение a(t) в любой момент t и скорость в начальный момент t_0 равна v_0.
Используем основную теорему анализа: если функция непрерывна, то
$$\left(\int_{t_0}^{t} f(\tau)\,d\tau\right)’=f(t).$$
Пусть
$$x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t} v(\tau)\,d\tau.$$
Тогда
$$x'(t)=\left(x_0+\int_{t_0}^{t} v(\tau)\,d\tau\right)’=0+v(t)=v(t).$$
При $t=t_0$ получаем
$$x(t_0)=x_0+\int_{t_0}^{t_0} v(\tau)\,d\tau=x_0.$$
Значит, формула верна.
Пусть
$$v(t)=v_0+\int_{t_0}^{t} a(\tau)\,d\tau.$$
Тогда
$$v'(t)=\left(v_0+\int_{t_0}^{t} a(\tau)\,d\tau\right)’=0+a(t)=a(t).$$
При $t=t_0$ имеем
$$v(t_0)=v_0+\int_{t_0}^{t_0} a(\tau)\,d\tau=v_0.$$
Следовательно, и эта формула доказана.
Ответ
$$x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t} v(\tau)\,d\tau,\qquad v(t)=v_0+\int_{t_0}^{t} a(\tau)\,d\tau.$$
