Упр.263 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) arcsin(x)+arccos(x)=?/2; б) arctg(x)+arcctg(x)=?/2.

а) Рассмотрим функцию

$$f(x)=\arcsin x+\arccos x.$$

Её область определения: $$x\in[-1;1].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0.$$

Значит, функция постоянна на отрезке $$[-1;1].$$

Найдём её значение при $$x=0$$:

$$f(0)=\arcsin 0+\arccos 0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.$$

б) Рассмотрим функцию

$$g(x)=\arctg x+\operatorname{arcctg} x.$$

Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0.$$

Значит, функция постоянна на всей области определения.

Найдём её значение при $$x=0$$:

$$g(0)=\arctg 0+\operatorname{arcctg} 0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$\arctg x+\operatorname{arcctg} x=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2},\qquad \arctg x+\operatorname{arcctg} x=\frac{\pi}{2}.$$