Упр.260 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 260. Пусть x_1(t) и x_2(t) — два решения уравнения x»(t)=-?^2x(t). Докажите, что функции x_1(t)-x_2(t) и kx_1(t), где k — произвольное число, также являются решениями этого уравнения.

Подробный ответ

Пусть $$x_1(t)$$ и $$x_2(t)$$ — решения уравнения

$$x»(t)=-\omega^2x(t).$$

Тогда

$$x_1»(t)=-\omega^2x_1(t), \qquad x_2»(t)=-\omega^2x_2(t).$$

Докажем, что функции $$x_1(t)-x_2(t)$$ и $$kx_1(t)$$ также являются решениями этого уравнения.

1) Рассмотрим функцию $$x(t)=x_1(t)-x_2(t).$$ Тогда

$$ x»(t)=x_1»(t)-x_2»(t) =-\omega^2x_1(t)-\bigl(-\omega^2x_2(t)\bigr) =-\omega^2\bigl(x_1(t)-x_2(t)\bigr). $$

Значит, $$x(t)=x_1(t)-x_2(t)$$ — решение данного уравнения.

2) Рассмотрим функцию $$x(t)=kx_1(t)$$, где $$k$$ — произвольное число. Тогда

$$ x»(t)=(kx_1(t))»=kx_1»(t)=k\bigl(-\omega^2x_1(t)\bigr)=-\omega^2(kx_1(t)). $$

Следовательно, $$x(t)=kx_1(t)$$ также является решением уравнения.