Упр.259 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 259. Докажите, что полная энергия E=mv^2/2+u(x) материальной точки массой m, движущейся по прямой согласно второму закону Ньютона, сохраняется (u(x) — потенциальная энергия).

Пусть движение точки описывается функцией $$x=x(t)$$, тогда скорость $$v=x'(t)$$, а ускорение $$a=x»(t)$$.

Полная энергия равна

$$E(t)=\frac{mv^2}{2}+u(x).$$

Найдём производную по времени:

$$ E'(t)=\frac{m}{2}\cdot 2v v’ + u'(x)\,x’ = mvv’ + u'(x)v. $$

Так как $$v=x'(t)$$ и $$v’=x»(t)=a(t)$$, получаем

$$E'(t)=mva+u'(x)v=v\bigl(ma+u'(x)\bigr).$$

По второму закону Ньютона сила равна $$F=ma$$, а для потенциальной энергии $$u(x)$$ имеем $$F=-u'(x)$$. Значит,

$$ma=-u'(x).$$

Тогда

$$E'(t)=v\bigl(ma+u'(x)\bigr)=0.$$

Следовательно, $$E(t)$$ не зависит от времени, то есть

$$E(t)=C,$$

где $$C$$ — постоянная.

Ответ

$$E=\frac{mv^2}{2}+u(x)$$ сохраняется, то есть $$E=\text{const}.$$