Упр.259 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) $$f(x)=3x-x^3$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$3x-x^3=0$$
$$x(3-x^2)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=\sqrt{3},\quad x_3=-\sqrt{3}$$
Производная:
$$f'(x)=3-3x^2$$
Угловые коэффициенты касательных в точках пересечения:
$$k_1=f'(0)=3,\quad k_2=f'(\sqrt{3})=3-3\cdot 3=-6,\quad k_3=f'(-\sqrt{3})=3-3\cdot 3=-6$$
Тогда углы наклона касательных:
$$\alpha_1=\arctg 3,\quad \alpha_2=\arctg(-6)=-\arctg 6,\quad \alpha_3=\arctg(-6)=-\arctg 6$$
б) $$f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Производная:
$$f'(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$
В точках пересечения:
$$k=f’\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n\right)=\cos(\pi n)=(-1)^n$$
Значит, возможны два угла наклона:
$$\alpha_1=\arctg 1=\frac{\pi}{4},\quad \alpha_2=\arctg(-1)=\frac{3\pi}{4}$$
в) $$f(x)=x^2-3x+2$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$x^2-3x+2=0$$
$$ (x-1)(x-2)=0 $$
$$x_1=1,\quad x_2=2$$
Производная:
$$f'(x)=2x-3$$
Угловые коэффициенты касательных:
$$k_1=f'(1)=-1,\quad k_2=f'(2)=1$$
Следовательно,
$$\alpha_1=\arctg(-1)=\frac{3\pi}{4},\quad \alpha_2=\arctg 1=\frac{\pi}{4}$$
г) $$f(x)=-\cos x$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$-\cos x=0$$
$$\cos x=0$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Производная:
$$f'(x)=\sin x$$
В точках пересечения:
$$k=f’\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)=(-1)^n$$
Значит, углы наклона касательных равны:
$$\alpha_1=\arctg 1=\frac{\pi}{4},\quad \alpha_2=\arctg(-1)=\frac{3\pi}{4}$$
Ответ
а) $$\alpha=\arctg 3,\,-\arctg 6$$;
б) $$\alpha=\frac{\pi}{4},\,\frac{3\pi}{4}$$;
в) $$\alpha=\frac{3\pi}{4},\,\frac{\pi}{4}$$;
г) $$\alpha=\frac{\pi}{4},\,\frac{3\pi}{4}$$.
