Упр.258 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) координата x(t) тела при движении по прямой удовлетворяет дифференциальному уравнению mx»(t)=-u'(x);
б) потенциальная энергия u(x) материальной точки массой m, совершающей гармоническое колебание x»=-?^2x, равна kx^2/2, где k=m?^2 (положите u(0)=u).

Пусть сила, действующая на материальную точку, связана с потенциальной энергией соотношением $$F(x)=-u'(x).$$

По второму закону Ньютона имеем

$$m x»(t)=F(x).$$

Следовательно,

$$m x»(t)=-u'(x).$$

Это и требовалось доказать в пункте а).

Теперь рассмотрим гармоническое колебание, для которого

$$x»=-\omega^2 x.$$

Тогда из пункта а) получаем

$$-u'(x)=m x»=-m\omega^2 x,$$

то есть

$$u'(x)=m\omega^2 x.$$

Интегрируя, находим

$$u(x)=\frac{m\omega^2 x^2}{2}+C.$$

По условию $$u(0)=0,$$ значит $$C=0.$$ Поэтому

$$u(x)=\frac{m\omega^2 x^2}{2}.$$

Так как $$k=m\omega^2,$$ то

$$u(x)=\frac{kx^2}{2}.$$

Это и требовалось доказать в пункте б).

Ответ

$$m x»(t)=-u'(x), \qquad u(x)=\frac{kx^2}{2}, \qquad k=m\omega^2.$$