Упр.254 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)={cos(x) при x < 0, 1 при x?0}, M(0; 0); б) f(x)={1 при x < 1, 1/vx при x?1}, M(4; 0).

а) Найдём первообразную по частям.

При $$x<0$$ имеем $$f(x)=\cos x$$, значит

$$F(x)=\sin x+C.$$

Так как график проходит через точку $$M(0;0)$$, то при $$x=0$$ получаем $$F(0)=0$$. Для правой части при $$x\ge 0$$:

$$f(x)=1,\qquad F(x)=x+C.$$

Из условия $$F(0)=0$$ находим $$C=0$$. Тогда

$$F(x)=\sin x \text{ при } x<0,\qquad F(x)=x \text{ при } x\ge 0.$$

б) Снова найдём первообразную по частям.

При $$x\ge 1$$ имеем $$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$$, значит

$$F(x)=2\sqrt{x}+C.$$

Так как график проходит через точку $$M(4;0)$$, то

$$2\sqrt{4}+C=0,$$

$$4+C=0,$$

$$C=-4.$$

Следовательно, при $$x\ge 1$$

$$F(x)=2\sqrt{x}-4.$$

При $$x<1$$ имеем $$f(x)=1$$, значит

$$F(x)=x+C.$$

Найдём $$C$$ из условия непрерывности первообразной в точке $$x=1$$:

$$F(1)=2\sqrt{1}-4=-2.$$

Тогда

$$1+C=-2,$$

$$C=-3.$$

Значит, при $$x<1$$

$$F(x)=x-3.$$

Ответ

а) $$F(x)=\begin{cases}\sin x, & x<0,\\ x, & x\ge 0;\end{cases}$$

б) $$F(x)=\begin{cases}x-3, & x<1,\\ 2\sqrt{x}-4, & x\ge 1.\end{cases}$$