Упр.253 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f'(x)=1/(x-1) и f(3)=-1;
б) f»(x)=3-x, f(0)=1, f'(1)=0;
в) f'(x)=cos(x) и f(e)=?;
г) f»(x)=-1 и f(0)=f(2)=0.

1. а) Интегрируем производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{x-1}$$

   $$f(x)=\ln|x-1|+C$$

   Используем условие $$f(3)=-1$$:

   $$\ln|3-1|+C=-1$$

   $$\ln 2+C=-1$$

   $$C=-1-\ln 2$$

   Тогда

   $$f(x)=\ln|x-1|-\ln 2-1$$

2. б) Найдём сначала первую производную:

   $$f»(x)=3-x$$

   $$f'(x)=3x-\frac{x^2}{2}+C$$

   Из условия $$f'(1)=0$$ получаем:

   $$3-\frac12+C=0$$

   $$C=-\frac52$$

   Значит,

   $$f'(x)=3x-\frac{x^2}{2}-\frac52$$

   Интегрируем ещё раз:

   $$f(x)=\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{6}-\frac{5x}{2}+D$$

   Из условия $$f(0)=1$$:

   $$D=1$$

   Следовательно,

   $$f(x)=-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^2}{2}-\frac{5x}{2}+1$$

3. в) Интегрируем:

   $$f'(x)=\cos x$$

   $$f(x)=\sin x+C$$

   Из условия $$f(e)=\pi$$:

   $$\sin e+C=\pi$$

   $$C=\pi-\sin e$$

   Тогда

   $$f(x)=\sin x-\sin e+\pi$$

4. г) Дважды интегрируем:

   $$f»(x)=-1$$

   $$f'(x)=-x+C$$

   $$f(x)=-\frac{x^2}{2}+Cx+D$$

   Используем условия:

   $$f(0)=0 \Rightarrow D=0$$

   $$f(2)=0 \Rightarrow -\frac{4}{2}+2C=0$$

   $$-2+2C=0 \Rightarrow C=1$$

   Значит,

   $$f(x)=-\frac{x^2}{2}+x$$

Ответ

а) $$f(x)=\ln|x-1|-\ln 2-1$$;

б) $$f(x)=-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^2}{2}-\frac{5x}{2}+1$$;

в) $$f(x)=\sin x-\sin e+\pi$$;

г) $$f(x)=-\frac{x^2}{2}+x$$.