Упр.252 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=xv(1+x^2); б) f(x)=xe^(-x^2);
в) f(x)=ctg(x), x?(0; ?); г) f(x)=tg(x), x?(-?/2; ?/2).

а) $$f(x)=x\sqrt{1+x^2}.$$

Сделаем замену: $$u=1+x^2,$$ тогда $$du=2x\,dx,$$ то есть $$x\,dx=\frac12\,du.$$

Тогда

$$ \int x\sqrt{1+x^2}\,dx =\frac12\int u^{1/2}\,du =\frac12\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}+C =\frac13(1+x^2)^{3/2}+C. $$

б) $$f(x)=xe^{-x^2}.$$

Положим $$u=-x^2,$$ тогда $$du=-2x\,dx,$$ значит $$x\,dx=-\frac12\,du.$$

Получаем

$$ \int xe^{-x^2}\,dx =-\frac12\int e^u\,du =-\frac12e^u+C =-\frac12e^{-x^2}+C. $$

в) $$f(x)=\ctg x,\quad x\in(0;\pi).$$

Так как $$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x},$$ то

$$ \int \ctg x\,dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx. $$

Пусть $$u=\sin x,$$ тогда $$du=\cos x\,dx.$$ Следовательно,

$$ \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln(\sin x)+C, $$

так как на $$\left(0;\pi\right)$$ имеем $$\sin x>0.$$

г) $$f(x)=\tg x,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

Запишем

$$ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x}. $$

Пусть $$u=\cos x,$$ тогда $$du=-\sin x\,dx,$$ значит $$\sin x\,dx=-du.$$ Тогда

$$ \int \tg x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx =-\int \frac{du}{u} =-\ln|u|+C =-\ln(\cos x)+C, $$

так как на $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем $$\cos x>0.$$

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{а) } F(x)=\frac13(1+x^2)^{3/2}+C;\\ &\text{б) } F(x)=-\frac12e^{-x^2}+C;\\ &\text{в) } F(x)=\ln(\sin x)+C;\\ &\text{г) } F(x)=-\ln(\cos x)+C. \end{aligned} $$