Упр.251 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 251. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?

Пусть $$a$$ — угол при основании равнобедренного треугольника. Тогда угол при вершине равен $$\pi-2a$$.

Обозначим боковую сторону через $$b$$. Площадь треугольника:

$$ S=\frac12 b\cdot b\sin(\pi-2a)=\frac{b^2\sin 2a}{2}. $$

Так как $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$, то

$$ S=b^2\sin a\cos a. $$

Радиус вписанного круга равен

$$ r=\frac{2S}{P}, $$

где $$P$$ — полупериметр. Для равнобедренного треугольника

$$ P=\frac{2b+2b\sin a}{2}=b(1+\sin a). $$

Тогда

$$ r=\frac{2b^2\sin a\cos a}{2b(1+\sin a)}=\frac{b\sin a\cos a}{1+\sin a}. $$

Из формулы площади выразим $$b$$ через $$S$$ и $$a$$:

$$ S=b^2\sin a\cos a,\qquad b=\sqrt{\frac{S}{\sin a\cos a}}. $$

Подставляя, получаем зависимость $$r$$ от $$a$$:

$$ r^2=S\cdot \frac{\sin a\cos a}{(1+\sin a)^2}. $$

Значит, нужно максимизировать функцию

$$ f(a)=\frac{\sin a\cos a}{(1+\sin a)^2}. $$

После преобразования удобно перейти к половинному углу. Пусть $$x=\frac a2$$. Тогда

$$ r^2=S\cdot \sin x\cos x\,(1-\tan^2 x), $$

и максимум достигается при

$$ \tan^2 x=\frac13. $$

Следовательно,

$$ x=\frac{\pi}{6},\qquad a=2x=\frac{\pi}{3}. $$

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен

$$ \pi-2a=\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}=60^\circ. $$

Ответ

$$60^\circ$$