Упр.249 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\left(x^2-1\right)(x+4)(x^3-8)\le 0$$

   Разложим на множители:
   $$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)\le 0.$$

   Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x$$, решаем методом интервалов для
   $$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)\left(x-2\right)\le 0.$$
   Корни: $$-4,\,-1,\,1,\,2.$$

   Знак выражения меняется при переходе через каждый из этих корней. Получаем:
   $$x\in[-4;-1]\cup[1;2].$$

2. $$\sqrt{x^2-4}(x-3)<0$$

   Область определения:
   $$x^2-4\ge 0,\quad x\in(-\infty;-2]\cup[2;\infty).$$

   Так как $$\sqrt{x^2-4}\ge 0$$, для выполнения неравенства нужно, чтобы
   $$x-3<0,$$ а также $$\sqrt{x^2-4}\ne 0$$.

   Тогда
   $$x\in(-\infty;-2)\cup(2;3).$$

3. $$x^2(3-x)(x+2)>0$$

   При $$x\ne 0$$ имеем $$x^2>0$$, поэтому достаточно решить
   $$(3-x)(x+2)>0.$$

   Отсюда
   $$-2<x<3.$$
   С учётом условия $$x\ne 0$$ получаем:
   $$x\in(-2;0)\cup(0;3).$$

4. $$\frac{(x-2)^3(x+5)}{(x+3)^2}\ge 0$$

   Область определения:
   $$x\ne -3.$$

   Так как $$\left(x+3\right)^2>0$$ при $$x\ne -3$$, умножим обе части неравенства на $$\left(x+3\right)^2$$:
   $$(x-2)^3(x+5)\ge 0.$$

   Поскольку степень $$3$$ нечётная, знак множителя $$\left(x-2\right)^3$$ совпадает со знаком $$x-2$$. Тогда решаем:
   $$(x-2)(x+5)\ge 0.$$

   Получаем
   $$x\in(-\infty;-5]\cup[2;\infty).$$
   Точка $$x=-3$$ не входит в это множество, поэтому ответ не меняется.

Ответ

а) $$x\in[-4;-1]\cup[1;2]$$;
б) $$x\in(-\infty;-2)\cup(2;3)$$;
в) $$x\in(-2;0)\cup(0;3)$$;
г) $$x\in(-\infty;-5]\cup[2;\infty)$$.