Упр.248 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 248. При каких значениях а и b прямая y=7x-2 касается графика функции y=ax^2+bx+1 в точке А(1; 5)?

Подробный ответ

Так как прямая касается графика параболы в точке $$A(1;5)$$, то точка $$A$$ принадлежит и прямой, и параболе, а их угловые коэффициенты в этой точке равны.

1) Подставим координаты точки $$A(1;5)$$ в уравнение параболы $$y=ax^2+bx+1$$:

$$5=a\cdot 1^2+b\cdot 1+1,$$

$$a+b+1=5,$$

$$a+b=4.$$

2) Производная функции $$y=ax^2+bx+1$$ равна

$$y’=2ax+b.$$

Так как касательная имеет уравнение $$y=7x-2$$, её угловой коэффициент равен $$7$$. Значит, в точке касания:

$$y'(1)=7,$$

$$2a+b=7.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} a+b=4,\\ 2a+b=7. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго: