Упр.248 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 248. Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием b и высотой h. Прочность балки пропорциональна bh^2. При каких значениях b и h прочность будет наибольшей?

Пусть основание балки равно $$b$$, а высота — $$h$$. Так как балка вырезается из круглого бревна диаметром $$40$$ см, то по теореме Пифагора

$$b^2+h^2=40^2=1600,$$

откуда

$$h^2=1600-b^2.$$

Прочность балки пропорциональна величине

$$R=bh^2=b(1600-b^2)=1600b-b^3.$$

Найдём максимум этой функции:

$$R'(b)=1600-3b^2.$$

При максимуме производная равна нулю:

$$1600-3b^2=0,$$

$$b^2=\frac{1600}{3},$$

$$b=\frac{40}{\sqrt3}.$$

Тогда

$$h^2=1600-\frac{1600}{3}=\frac{3200}{3},$$

$$h=40\sqrt{\frac23}.$$

Ответ

$$b=\frac{40}{\sqrt3}\text{ см},\quad h=40\sqrt{\frac23}\text{ см}.$$