Упр.246 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 246. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом R.

Пусть $$h$$ — высота конуса, $$r$$ — радиус его основания. Шар радиуса $$R$$ касается основания конуса и его боковой поверхности, поэтому из подобия получаем

$$\frac{R}{r}=\frac{h-R}{\sqrt{r^2+h^2}}.$$

Возведём в квадрат:

$$\frac{R^2}{r^2}=\frac{(h-R)^2}{r^2+h^2}.$$

Тогда

$$R^2(r^2+h^2)=(h-R)^2r^2,$$

$$R^2h^2=r^2\bigl((h-R)^2-R^2\bigr)=r^2(h^2-2hR),$$

откуда

$$r^2=\frac{R^2h^2}{h^2-2hR}=\frac{R^2h}{h-2R}.$$

Объём конуса равен

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi h\cdot \frac{R^2h}{h-2R}=\frac13\pi R^2\frac{h^2}{h-2R}.$$

Найдём минимум функции

$$f(h)=\frac{h^2}{h-2R}, \qquad h>2R.$$

Производная:

$$f'(h)=\frac{2h(h-2R)-h^2}{(h-2R)^2}=\frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2}.$$

При $$h>2R$$ знаменатель положителен, поэтому минимум достигается при

$$h-4R=0,$$

то есть

$$h=4R.$$

Ответ

$$4R$$