Упр.244 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 244. В конус, радиус основания которого R и высота Н, требуется вписать цилиндр, имеющий наибольшую площадь полной поверхности. Найдите радиус цилиндра.

Пусть радиус цилиндра равен $$r$$, а его высота — $$h$$.

Из подобия сечений конуса получаем:

$$\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}$$

Отсюда

$$RH-Rh=rH,$$

$$h=\frac{RH-rH}{R}.$$

Площадь полной поверхности цилиндра:

$$S(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r\left(r+\frac{RH-rH}{R}\right).$$

Упростим:

$$S(r)=2\pi r\left(r+H-\frac{rH}{R}\right)=2\pi\left(r^2+Hr-\frac{Hr^2}{R}\right).$$

Найдём производную:

$$S'(r)=2\pi\left(2r+H-\frac{2Hr}{R}\right).$$

Для максимума приравняем производную к нулю:

$$2r+H-\frac{2Hr}{R}=0.$$

Тогда

$$2r\left(1-\frac{H}{R}\right)=-H,$$

$$2r\cdot \frac{R-H}{R}=-H,$$

$$r=\frac{HR}{2(H-R)}.$$

Это и есть радиус цилиндра, при котором его полная поверхность наибольшая.

Ответ

$$\frac{HR}{2(H-R)}$$