Упр.243 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) f(x)=1/x, M(0; 3); б) f(x)=x^2-4x+1, M(-1; -3);
в) f(x)=v(2x-1), M(-1; 0); г) f(x)=v(9-x^2), M(0; 6).

Подробный ответ

а) $$f(x)=\frac{1}{x}, \quad M(0;3).$$
Пусть касательная проведена в точке $$x=a$$. Тогда
$$f(a)=\frac{1}{a}, \quad f'(a)=-\frac{1}{a^2}.$$
Уравнение касательной:
$$y=\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2}(x-a).$$
Так как она проходит через точку $$M(0;3)$$, получаем
$$3=\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2}(0-a)=\frac{2}{a}.$$
Отсюда $$a=\frac{2}{3}.$$ Тогда
$$y=\frac{3}{2}-\frac{9}{4}\left(x-\frac{2}{3}\right)=3-\frac{9}{4}x.$$
б) $$f(x)=x^2-4x+1, \quad M(-1;-3).$$
Пусть $$x=a$$ — абсцисса точки касания. Тогда
$$f(a)=a^2-4a+1, \quad f'(a)=2a-4.$$
Уравнение касательной:
$$y=a^2-4a+1+(2a-4)(x-a).$$
Подставим точку $$M(-1;-3)$$:
$$-3=a^2-4a+1+(2a-4)(-1-a).$$
После упрощения:
$$a^2+2a-8=0.$$
$$D=2^2+4\cdot 8=36,$$
$$a_1=-4,\quad a_2=2.$$
При $$a=-4$$:
$$y=16+16+1-12(x+4)=-12x-15.$$
При $$a=2$$:
$$y=4-8+1+0=-3.$$
в) $$f(x)=\sqrt{2x-1}, \quad M(-1;0).$$
Пусть $$x=a$$ — точка касания. Тогда
$$f(a)=\sqrt{2a-1}, \quad f'(a)=\frac{1}{\sqrt{2a-1}}.$$
Уравнение касательной:
$$y=\sqrt{2a-1}+\frac{1}{\sqrt{2a-1}}(x-a).$$
Так как касательная проходит через $$M(-1;0)$$, имеем
$$0=\sqrt{2a-1}+\frac{1}{\sqrt{2a-1}}(-1-a).$$
Умножим на $$\sqrt{2a-1}$$:
$$2a-1-1-a=0,$$
$$a-2=0,\quad a=2.$$
Тогда
$$y=\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}(x-2)=\frac{x+1}{\sqrt{3}}.$$
г) $$f(x)=\sqrt{9-x^2}, \quad M(0;6).$$
Пусть $$x=a$$ — точка касания. Тогда
$$f(a)=\sqrt{9-a^2}, \quad f'(a)=-\frac{a}{\sqrt{9-a^2}}.$$
Уравнение касательной:
$$y=\sqrt{9-a^2}-\frac{a}{\sqrt{9-a^2}}(x-a).$$
Подставим точку $$M(0;6)$$:
$$6=\sqrt{9-a^2}-\frac{a}{\sqrt{9-a^2}}(-a).$$
Тогда
$$6=\frac{9}{\sqrt{9-a^2}},$$
$$6\sqrt{9-a^2}=9,$$
$$36(9-a^2)=81,$$
$$9-a^2=\frac{9}{4},$$
$$a^2=\frac{27}{4}, \quad a=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}.$$
Подставляя в уравнение касательной, получаем
$$y=\pm \sqrt{3}\,x+6.$$