Упр.243 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 243. Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, получаем

$$4R^2=4r^2+h^2,$$

откуда

$$h=2\sqrt{R^2-r^2}.$$

Объём цилиндра равен

$$V=\pi r^2h=2\pi r^2\sqrt{R^2-r^2}.$$

Найдём максимум функции $$V(r)$$. Достаточно рассмотреть производную:

$$ V'(r)=4\pi r\sqrt{R^2-r^2}-\frac{2\pi r^3}{\sqrt{R^2-r^2}}. $$

Приравниваем её к нулю:

$$ 4\pi r\sqrt{R^2-r^2}-\frac{2\pi r^3}{\sqrt{R^2-r^2}}=0. $$

Умножим на $$\sqrt{R^2-r^2}$$:

$$ 4\pi r(R^2-r^2)-2\pi r^3=0. $$

Так как $$r>0$$, делим на $$2\pi r$$:

$$ 2(R^2-r^2)-r^2=0, $$

$$ 2R^2-3r^2=0, $$

$$ r^2=\frac{2R^2}{3}. $$

Тогда

$$ h=2\sqrt{R^2-\frac{2R^2}{3}} =2\sqrt{\frac{R^2}{3}} =\frac{2R}{\sqrt{3}}. $$

Итак, высота цилиндра наибольшего объёма равна $$\frac{2R}{\sqrt{3}}$$.

Ответ

$$\frac{2R}{\sqrt{3}}$$