Упр.242 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 242. Из всех цилиндров, имеющих объем 16? м^3, найдите цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. По условию объём равен $$16\pi$$, значит

$$V=\pi r^2h=16\pi,$$

откуда

$$h=\frac{16}{r^2}.$$

Площадь полной поверхности цилиндра:

$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{16}{r^2}=2\pi\left(r^2+\frac{16}{r}\right).$$

Найдём минимум этой функции при $$r>0$$:

$$S'(r)=2\pi\left(2r-\frac{16}{r^2}\right).$$

Приравняем производную к нулю:

$$2r-\frac{16}{r^2}=0,$$

$$2r^3-16=0,$$

$$r^3=8,$$

$$r=2.$$

Тогда

$$h=\frac{16}{2^2}=4.$$

Проверим соотношение:

$$h=2r.$$

Ответ

Цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности имеет радиус $$r=2$$ м и высоту $$h=4$$ м, то есть $$h=2r$$.